Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=49，a₄和a₈的等差中项为11．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组求出a₁=1，d=2，由此能求出
a_n及S_n．
（Ⅱ）由S_n=n²知当n=2时，不等式成立；当n≥3时，

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，由此利用裂项法能证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

7

4

．

解答： （Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₇=49，a₄和a₈的等差中项为11，
∴

7a1+21d=49 2a1+10d=22

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1，S_n=n²．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知S_n=n²，n∈N^*，
①n=2时，

1

S1

+

1

S2

=1+

1

4

＜

7

4

，∴原不等式也成立．
②当n≥3时，∵n²＞（n-1）n，
∴

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

4

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+

1

4

+[（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-2

-

1

n-1

）+（

1

n-1

-

1

n

）]
=1+

1

4

+（

1

2

-

1

n

）
=

7

4

-

1

n

＜

7

4

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．