Question

在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=

3

，SB=2

2

．
（1）证明：BC⊥SC
（2）求点A到平面SCB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件求出SA=2，SC=

5

，由此利用勾股定理能证明BC⊥SC．
（2）由已知条件推导出SA⊥平面ABC，AB=SA=2，由此利用等体积法能求出点A到平面SCB的距离．

解答： （1）证明：∵在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
AC=1，BC=

3

，SB=2

2

，
∴SA=2，在Rt△SAC中，SC=

SA2+AC2

=

4+1

=

5

，（5分）
∵BC²+SC²=3+5=8=SB²，∴BC⊥SC．（6分）
（2）解：∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°
∴SA⊥AB，SA⊥AC，且AB∩AC=A，
∴SA⊥平面ABC，（7分）
在Rt△ACB中，AB=

BC2+AC2

=2，
Rt△SAB中，SA=

SB2-AB2

=

8-4

=2，
∵S△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，（9分）
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SA=

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．（10分）
由（1）知△SCB是直角三角形，得SC=

5

，∴S△SCB=

15

2

，（12分）
设点A到平面SCB的距离为d，
由等体积法知

1

3

•

15

2

•d=

3

3

，解的d=

2 5

5

，
∴点A到平面SCB的距离d=

2 5

5

．（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．