已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）当ω=2时，x∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（x）的值域；
（2）若y=f（x）在[-

π

4

，

2π

3

]单调递增，求ω的取值范围．

设各项都是正整数的无穷数列{a_n}满足：对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1．记b_n=aan．
（1）若数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=2的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若b_n=3n，证明：a₁=2；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=1，c_n=a an+1，{c_n}是公差为1的等差数列．记d_n=-2ⁿ•a_n，S_n=d₁+d₂+…+d_n-1+d_n，问：使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n是否存在？并说明理由．

在数列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．从数列{a_n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b_n}，并称{b_n}为数列{a_n}的k项子列．例如数列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

为{a_n}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{b_n}为数列{a_n}的一个5项子列，且{b_n}为等差数列，证明：{b_n}的公差d满足-

1

8

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}为数列{a_n}的一个m（m≥3）项子列，且{c_n}为等比数列，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-

1

2m-1

．

表面积为144π的球内切于一个圆台（即球与圆台的上、下底面和侧面都相切），如果圆台的下底面与上底面的半径之差为5，求圆台的表面积和体积．

“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为

1

3

，乙组能使生物成活的概率为

1

2

，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．

已知正项数列{x_n}满足x_n+

1

xn+1

＜2（n∈N^*）．
（1）证明：x_n+

1

xn

≥2；
（2）证明：x_n＜x_n+1；
（3）证明：

n-1

n

＜x_n＜

n+1

n

．

已知ad≠bc，求证：（a²+b²）（c²+d²）＞（ac+bd）²．

已知f（x）是定义在（-1，1）上的单调递增函数，解不等式：f（t-1）-f（-t）＜0．

如图，已知OPQ是半径为

3

，圆心角为

π

3

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，矩形ABCD的面积为f（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+

π

4

）的最大值及相应的x值．

△ABC的三个内角A，B，C对应边分别为a，b，c．若A，B，C成等差数列，求证：

c

a+b

+

a

b+c

=1．