Question

在数列{a_n}中，a_n=

1

n

（n∈N^*）．从数列{a_n}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{b_n}，并称{b_n}为数列{a_n}的k项子列．例如数列

1

2

，

1

3

，

1

5

，

1

8

为{a_n}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{a_n}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{b_n}为数列{a_n}的一个5项子列，且{b_n}为等差数列，证明：{b_n}的公差d满足-

1

8

＜d＜0；
（Ⅲ）如果{c_n}为数列{a_n}的一个m（m≥3）项子列，且{c_n}为等比数列，证明：c₁+c₂+c₃+…+c_m≤2-

1

2m-1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,等差数列的性质

专题：新定义,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；
（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；
（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．

解答： （Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列

1

2

，

1

3

，

1

6

；
（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b₁＞b₂＞b₃＞b₄＞b₅＞0，
所以d=b₂-b₁＜0．
假设b₁=1，
由{b_n}为{a_n}的一个5项子列，得b2≤

1

2

，
所以d=b2-b1≤

1

2

-1=-

1

2

．
因为b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b₅-b₁=b₅-1＞-1，即d＞-

1

4

．
这与d≤-

1

2

矛盾．
所以假设不成立，即b₁≠1．
所以b1≤

1

2

，
因为b₅=b₁+4d，b₅＞0，
所以4d=b5-b1≥b5-

1

2

＞-

1

2

，即d＞-

1

8

，
综上，得-

1

8

＜d＜0．
（Ⅲ）证明：由题意，设{c_n}的公比为q，
则c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)．
因为{c_n}为{a_n}的一个m项子列，
所以q为正有理数，且q＜1，c1=

1

a

≤1 (a∈N*)．
设q=

K

L

(K，L∈N*，且K，L互质，L≥2）．
当K=1时，
因为q=

1

L

≤

1

2

，
所以c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)m-1=2-(

1

2

)m-1，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤2-(

1

2

)m-1．
当K≠1时，
因为cm=c1qm-1=

1

a

×

Km-1

Lm-1

是{a_n}中的项，且K，L互质，
所以a=K^m-1×M（M∈N^*），
所以c1+c2+c 3+…+cm=c1(1+q+q2+…+qm-1)=

1

M

(

1

Km-1

+

1

Km-2L

+

1

Km-3L2

+…+

1

Lm-1

)．
因为L≥2，K，M∈N^*，
所以c1+c2+c 3+…+cm≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)m-1=2-(

1

2

)m-1．
综上，c1+c2+c 3+…+cm≤2-

1

2m-1

．

点评：本题考查了等差数列、等比数列、以及新定义问题，要求学生能准确理解题中的新定义并加以应用，在解题中用到了列举法、公式法、反证法和分类讨论思想，有难度，属于难题．