Question

设各项都是正整数的无穷数列{a_n}满足：对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1．记b_n=aan．
（1）若数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=2的等比数列，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若b_n=3n，证明：a₁=2；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=1，c_n=a an+1，{c_n}是公差为1的等差数列．记d_n=-2ⁿ•a_n，S_n=d₁+d₂+…+d_n-1+d_n，问：使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n是否存在？并说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的通项公式求出a_n=2^n-1，再求数列{b_n}的通项公式；
（2）根据反证法排除a₁=1和a₁≥3，即可证明：a₁=2；
（3）首先{a_n}是公差为1的等差数列，a_n=n，再利用错位相减法，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项a₁=1，公比q=2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，
∴b₁=a_a1=a₁=1，b_n=aan=a2n-1=22n-1-1；
（2）根据反证法排除a₁=1和a₁≥3．
证明：假设a₁≠2，∴a₁=1和a₁≥3
①当a₁=1时，b₁=a_a1=a₁=1与b₁=3矛盾，∴a₁≠1；
②当a₁≥3时，即a₁≥3=b₁=a_a1，又a_n＜a_n+1，
∴a₁≤1与a₁≥3矛盾；
由①②可知a₁=2．
（3）首先{a_n}是公差为1的等差数列，
证明如下：∵a_n＜a_n+1，
∴n≥2时，a_n-1＜a_n，
∴a_n≥a_n-1+1，
∴a_n≥a_m+（n-m）（m＜n），
∴aan+1+1≥aan+1+[a_n+1+1-（a_n+1）]即c_n+1-c_n≥a_n+1-a_n，
由题设1≥a_n+1-a_n，
又a_n+1-a_n≥1，
∴a_n+1-a_n=1，
即{a_n}是等差数列．
又{a_n}的首项a₁=1，
∴a_n=n，
∴Sn=-(2+2•22+3•23+…+n•2n)，对此式两边乘以2，得2Sn=-22-2•23-3•24-…-n•2n+1
两式相减得Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2Sn+n•2n+1=2n+1-2，Sn+n•2n+1＞50，
即2ⁿ⁺¹≥52，
当n≥5时，2ⁿ⁺¹=64＞52，即存在最小正整数5使得Sn+n•2n+1＞50成立．

点评：数列的通项与求和，离不开等差数列与等比数列，掌握等差数列与等比数列的通项与求和是关键．