Question

“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为

1

3

，乙组能使生物成活的概率为

1

2

，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；
（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

专题：概率与统计

分析：（1）利用古典概率计算公式结合排列组合知识，能求出至少两次试验成功的概率．
（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为

A

2 4

=12种，由此能求出结果．
（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的期望．

解答： 解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：
P（A）=

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)

+C

3 3

(

1

3

)3=

7

27

．
（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，
可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，
所以各种可能的情况数为

A

2 4

=12种，
所以所求的概率为P（B）=12×(

1

2

)3×(

1

2

)3×

1

2

=

3

32

．
（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

0 2

(

1

2

)2=

1

9

，
P（ξ=1）=

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2

•C

1 2

(

1

2

)2=

1

3

，
P（ξ=2）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

0 2

(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

1 2

(

1

2

)2+

C

0 2

(

1

3

)0(

2

3

)2•

C

2 2

(

1

2

)2=

13

36

，
P（ξ=3）=

C

2 2

•(

1

3

)2•(

2

3

)0

•C

1 2

•(

1

2

)2+

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)

•C

2 2

(

1

2

)2=

1

6

，
P（ξ=4）=

C

2 2

(

1

3

)2(

2

3

)0•

C

2 2

(

1

2

)2=

1

36

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 9	1 3	13 36	1 6	1 36

Eξ=0×

1

9

+1×

1

3

+2×

13

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

5

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．