如图是某校校门的一个局部的截面设计图，CA=AO=OB=2米，

EF

是以O为圆心、OA为半径的圆的一段弧（E、F两点分别在OC、OD上），∠AOC=∠BOD=θ（θ≤

π

4

），OD=k•OC（k是常数且1＜k≤3）．通过对材料性能进行测算，“跨度比”

CD

OC

不能超过

3k+1

． 
（1）将该截面（图中实线围成的区域）的面积S表示为θ的函数；
（2）为使该门口显得相对大气，截面积S越大越好． 当S最大时，试求cosθ的值．

设等差数列{a_n}的公差为d，S_n是{a_n}中从第2^n-1项开始的连续2^n-1项的和，即：
S₁=a₁，
S₂=a₂+a₃，
S₃=a₄+a₅+a₆+a₇，
…
S_n=a 2n-1+a 2n-1+1+…+a 2n-1，
…
（1）当a₁=3，d=2时，求S₄
（2）若S₁，S₂，S₃成等比数列，问：数列{S_n}是否成等比数列？请说明你的理由．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a²-b²=bc，2sinB-sinC=0，求角A的大小．

已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．
（Ⅰ）求椭圆形的方程；
（Ⅱ）过F₁点作相互垂直的直线l₁，l₂，分别交椭圆于p₁，p₂，p₃，p₄试探究

1

|p1p2|

+

1

|p3p4|

是否为定值？并求当圆边形p₁，p₂，p₃，p₄的面积S最小时，直线l₁，l₂的方程．

已知函数f（x）=mx-

m

x

，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）当m=2时，若直线l过点（0，-4）且与曲线y=f（x）相切，求直线l的线方程；
（Ⅱ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根；
（Ⅲ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2

6

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连结AP，AQ分别交直线x=

16

3

于M，N两点，试探究直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

如图，设点P在曲线y=x²，从原点向A（2，4）移动，让直线OP与曲线y=x²所围成图形面积为S₁，直线OP、直线x=2与曲线y=x²所围成图形的面积为S₂．
（1）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（2）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标及此最小值．

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|PD|=

2

|MD|，当P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求证：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并求其方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F₂，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，直线F₂A与F₂B的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F且倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆于C，D两点，椭圆C的离心率为

3

2

，

AC

•

AD

-

BC

•

BD

=-

32 3

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P₁，P₂是椭圆上不同两点，P₁，P₂⊥x轴，圆R过点P₁，P₂，且椭圆上任意一点都不在圆R内，则称圆R为该椭圆的内切圆．问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率e=

5

3

，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（1，1），直线l：y=x+m（m∈R）和椭圆C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．