Question

如图，设点P在曲线y=x²，从原点向A（2，4）移动，让直线OP与曲线y=x²所围成图形面积为S₁，直线OP、直线x=2与曲线y=x²所围成图形的面积为S₂．
（1）当S₁=S₂时，求点P的坐标；
（2）当S₁+S₂有最小值时，求点P的坐标及此最小值．

Answer 1

考点：抛物线的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，再根据S₁=S₂就可求出t值．
（2）由（1）可求当S₁+S₂，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S₁+S₂有最小值．

解答： 解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t²），
直线OP的方程为y=tx，
S₁=

∫

t 0

（tx-x²）dx=（

1

2

tx2-

1

3

x3）

|

t 0

=

1

6

t3，S₂=

∫

2 t

（x²-tx）dx=（

1

3

x3-

1

2

tx2）

|

2 t

=

8

3

-2t+

1

6

t3，
因为S₁=S₂，所以t=

4

3

，点P的坐标为（

4

3

，

16

9

），
（2）S=S₁+S₂=

1

6

t3+

8

3

-2t+

1

6

t3=

1

3

t3-2t+

8

3

，
则S′=t²-2，令S′=0得t²-2=0，t=

2

，
 因为0＜t＜

2

时，S′＜0；

2

＜t＜2时，S′＞0，
所以，当t=

2

时，S_min=

8-4 2

3

，P点的坐标为（

2

，2）．

点评：本题考查了用定积分求两曲线所围图形面积，以及导数求最值，做题时应认真分析．