Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率e=

5

3

，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（1，1），直线l：y=x+m（m∈R）和椭圆C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，又e=

c

a

=

5

3

，2b=4，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l：y=x+m．m∈R和椭圆C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．联立方程

y=x+m x2 9 + y2 4 =1

，得13x²+18mx+9m²-36=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出当m=±

26

2

时，S取得最大值3．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
又e=

c

a

=

5

3

，2b=4，a²=b²+c²，解得a=3，b=2．
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设直线l：y=x+m．m∈R和椭圆C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
联立方程得，

y=x+m x2 9 + y2 4 =1

，消去y得，13x²+18mx+9m²-36=0．
上式有两个不同的实数根，
△=324m²-4×13×9（m²-4）=144（13-m²）＞0．
且x1+x2=-

18m

13

，x1x2=

9m2-36

13

．
∴AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12 2

13

×

13-m2

．
点Q（1，1）到l：y=x+m的距离为

|m|

2

．
∴△ABQ的面积S=

1

2

×

12 2

13

×

13-m2

×

|m|

2

=

6

13

×

(13-m2)m2

≤

6

13

×

13-m2+m2

2

=3．
当且仅当13-m²=m²，即m=±

26

2

时，S取得最大值，最大值为3．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值是否存在的判断，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．