Question

已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3．
（Ⅰ）求椭圆形的方程；
（Ⅱ）过F₁点作相互垂直的直线l₁，l₂，分别交椭圆于p₁，p₂，p₃，p₄试探究

1

|p1p2|

+

1

|p3p4|

是否为定值？并求当圆边形p₁，p₂，p₃，p₄的面积S最小时，直线l₁，l₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知条件推导出a²-b²=1，

2b2

a

=3．由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）若l₁、l₂中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

．若l₁、l₂的斜率均存在且不为0，设l₁的方程：y=k（x+1），则l₂的方程：y=-

1

k

(x+1)，联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k (x+1)

得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，由韦达定理求出|P₃P₄|=

12(k2+1)

3k2+4

．同理可得：|P1P2|=

12(k2+1)

4k2+3

，由此能求出四边形P₁P₃P₂P₄的面积S最小时，l₁、l₂的直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由焦点F₂的坐标为（1，0）知a²-b²=1，①
再由

12

a2

+

y2

b2

=1，整理得y=±

b2

a

．
∵过F₂垂直于长轴的弦长|AB|=3，
∴

2b2

a

=3．②
联立①、②可解得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（3分）
（Ⅱ）若l₁、l₂中一条的斜率不存在，则另一条的斜率则为0，
此时，|P₁P₂|=4，|P₃P₄|=|AB|=3，
于是

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

1

4

+

1

3

=

7

12

．…（5分）
若l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
设l₁的方程：y=k（x+1），则l₂的方程：y=-

1

k

(x+1)，
联立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=- 1 k (x+1)

消去x得：（3k²+4）y²+6ky-9=0，
∴y1+y2=-

6k

3k2+4

，y1y2=-

9

3k2+4

，
∴|P3P4|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

36k2 (3k2+4)2 + 36 3k2+4

=

12(k2+1)

3k2+4

．
同理可得：|P1P2|=

12(k2+1)

4k2+3

，
∴

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

4k2+3

12(k2+1)

+

3k2+4

12(k2+1)

=

7

12

．
∴综上知

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

（定值）．…（9分）
∵

1

|P1P2|

+

1

|P3P4|

=

7

12

≥2

1 |P1P2||P3P4|

，
∴|P1P2||P3P4|≥(

24

7

)2=

576

49

，
∴Smax=

1

2

|P1P2||P3P4|≥

288

49

．
当且仅当|P₁P₂|=|P₃P₄|，
即

12(k2+1)

4k2+3

=

12(k2+1)

3k2+4

时，S最小，此时解得k=±1，
∴四边形P₁P₃P₂P₄的面积S最小时，
l₁、l₂的直线方程：y=±（x+1）．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积最小时直线方程的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．