题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F且倾斜角为
π
4
的直线l交椭圆于C，D两点，椭圆C的离心率为
3
2
，
AC
•
AD
-
BC
•
BD
=-
32
3
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P1，P2是椭圆上不同两点，P1，P2⊥x轴，圆R过点P1，P2，且椭圆上任意一点都不在圆R内，则称圆R为该椭圆的内切圆．问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由离心率为
3
2
，得a=2b，c=
3
b，直线l的方程为y=x+
3
b，由方程组
x2
4b2
+
y2
b2
=1
y=x+
3
b
，得5x2+8
3
bx+8b2=0，由此利用已知条件能求出椭圆方程．
（2）由椭圆的对称性，设P1（m，n），P2（m，-n），点R在x轴上，设点R（t，0），圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-
3
2
，0）．
解答： 解：（1）因为离心率为
3
2
，所以a=2b，c=
3
b，
所以椭圆方程可化为：
x2
4b2
+
y2
b2
=1，
直线l的方程为y=x+
3
b，…（2分）
由方程组
x2
4b2
+
y2
b2
=1
y=x+
3
b
，得：x2+4(x+
3
b)2=4b2，
即5x2+8
3
bx+8b2=0，…（4分）
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=-
8
3
5
b，…（5分）
又
AC
•
AD
-
BC
•
BD
=（x1+a，y1）•（x2+a，y2）-（x1-a，y1）•（x2-a，y2）=2a（x1+x2），
∴4b•（-
8
3
5
b）=-
32
3
5
，解得b=1，
∴椭圆方程是
x2
4
+y2=1．…（7分）
（2）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），
点R在x轴上，设点R（t，0），
则圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，
由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R距离的最小值是|P1R|，
设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，
则|MR|2=（x-t）2+y2=
3
4
x2-2tx+t2+1，…（9分）
当x=m时，|MR|2最小，∴m=-
-2t
3
2
=
4t
3
，①…（10分）
又圆R过点F，所以（-
3
-t）2=（m-t）2+n2，②…（11分）
点P1在椭圆上，∴n2=1-
m2
4
，③…（12分）
由①②③解得：t=-
3
2
或t=-
3
，
又t=-
3
时，m=
-4
3
3
＜-2，不合题意，
综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-
3
2
，0）．…（13分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的内切圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
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若实数x，y满足
x+y≥0
x-y≥1
x≤0
，则z=2x-y的最小值是（　　）
A、1
B、0
C、-1
D、-
3
2
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a
x
（a∈R）．
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1
2
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n
n+1
）n（n+1）与（
1
e
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MF
+
MB
=λ
MA
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1
|p1p2|
+
1
|p3p4|
是否为定值？并求当圆边形p1，p2，p3，p4的面积S最小时，直线l1，l2的方程．
证明：f（x）=x+
1
x-2
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（Ⅰ）求
CG
CC1
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对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
（ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A；
（ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．
下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有
 
．（把所有正确的序号都填上）

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