设同时满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）若等比数列{a_n}为2k（k∈N^*）阶“期待数列”，求公比q；
（Ⅱ）记n阶“期待数列”{a_i}的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n）．
（1）求证：|S_k|≤

1

2

；
（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}，使得S_m=

1

2

．试问：数列{S_i}（i=1，2，3，…，n）能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；否则，请说明理由．

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h（x）的图象，再将h（x）的图象向右平衡移

π

3

个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求g（x）在[0，π]上的值域．

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+4，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+

10

3

．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=k-2（x∈[0，3]）的根的个数；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₂∈[0，3]，使得g（x₁）=f（x₂）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

判断函数f（x）=ax²+1（a＞0）在（0，+∞）上的单调性．

已知函数f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的值域．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=t，且a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，数列{

bn

an

}的前n项和T_n，证明T_n＜

9

4

．

已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，圆C的参数方程为

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ为参数）
（Ⅰ）判断直线l圆C的位置关系；
（Ⅱ）若椭圆的参数方程为

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A、B，求|CA|•|CB|．

已知函数f（x）=e^x+ax²-e²x．
（1）若曲线在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈（0，1）时，总有f（x）＞xe^x-e²x+1，求实数a的取值范围．

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-2y+3

5

=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，设动点N的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l与直线l₁垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

设关于x的方程x²-2ax-2a+15=0的两根模的和为8，求实数a的值，并求方程的根．