Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h（x）的图象，再将h（x）的图象向右平衡移

π

3

个单位得到g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求g（x）在[0，π]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，根据二倍角公式和辅助角公式，化简函数，然后，借助于三角函数的图象与性质进行求解；
（2）根据图象平移知识求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2os²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函数f（x）的单调递减区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，
∴h（x）=2sin（x+

π

6

）+1，
h（x）的图象向右平衡移

π

3

个单位得到g（x）的图象，
∴g（x）=2sin（x-

π

6

）+1，
∵x∈[0，π]，
∴sin（x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴g（x）在[0，π]上的值域[0，3]．

点评：本题综合考查了三角公式的灵活运用，属于中档题．