Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-2y+3

5

=0相切，点A为圆上一动点，AM⊥x轴于点M，且动点N满

ON

=

3

3

OA

+（1-

3

3

）

OM

，设动点N的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l与直线l₁垂直且与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x₀，y₀），由已知条件推导出M（x₀，0），圆C₁的程为x²+y²=9，A(x，

3

y)
，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线l：2x+y+m=0，设直线l与椭圆

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

，得13x²+12mx+3m²-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理和点到直线的距离公式能求出△OBD面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设动点N（x，y），A（x₀，y₀），
因为AM⊥x轴于M，所以M（x₀，0），
设圆C₁的方程为x²+y²=r²，由题意得r=

|3 5 |

1+4

=3，
所以圆C₁的程为x²+y²=9．…（2分）
由题意，

ON

=

3

3

OA

+(1-

3

3

)

OM

，
所以(x，y)=

3

3

(x0，y0)+(1-

3

3

)(x0，0)，
所以

x=x0 y= 3 3 y0

即

x0=x y0= 3 y.

将A(x，

3

y)
代入x²+y²=9，得动点N的轨迹方程

x2

9

+

y2

3

=1，
所以曲线C的方程

x2

9

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l：2x+y+m=0，
设直线l与椭圆

x2

9

+

y2

3

=1交于B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立方程

y=-2x-m x2+3y2=9

，得13x²+12mx+3m²-9=0，
△=144m²-13×4（3m²-9）＞0，解得m²＜39，
x1，2=

-12m± 468-12m2

26

=

-6m± 117-3m2

13

，…（7分）
又因为点O到直线l的距离d=

|m|

5

，
BD=

5

•|x1-x2|=

5

•

2 117-3m2

13

，S△OBD=

1

2

•

|m|

5

•

5

•

2 117-3m2

13

=

m2(117-3m2)

13

=

3m2(39-m2)

13

≤

3 3

2

．
（当且仅当m²=39-m²即 m2=

39

2

时取到最大值），
∴△OBD面积的最大值为

3 3

2

．…（12分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．