Question

设同时满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，a₃，…，a_n为n（n=2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）若等比数列{a_n}为2k（k∈N^*）阶“期待数列”，求公比q；
（Ⅱ）记n阶“期待数列”{a_i}的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n）．
（1）求证：|S_k|≤

1

2

；
（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}，使得S_m=

1

2

．试问：数列{S_i}（i=1，2，3，…，n）能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）分类讨论，利用“期待数列”的定义，即可求出公比；
（Ⅱ）（1）由n阶“期待数列”{a_n}的前k项和中所有项之和为0，所有项的绝对值的和为1，求得所有非负数项的和

1

2

，所有负数项的和为-

1

2

，从而得到答案；
（2）借助于（1）的结论知，数列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k项和为T_k 满足|T_k |≤

1

2

，再由S_m=

1

2

，得到|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．从而说明S₁+S₂+S₃+…+S_n=0与|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同时成立．

解答： （Ⅰ）解：若q=1，由①得，a₁•2k=0，得a₁=0，矛盾．-----------（5分）
若q≠1，则由①a₁+a₂+a₃+…+a_2k=

a1(1-q2k)

1-q

=0，得q=-1，-------------（7分）
由②得a₁=

1

2k

或a₁=-

1

2k

．
∴q=-1；
（Ⅱ）（1）证明：记a₁，a₂，…，a_n中所有非负数项的和为A，所有负数项的和为B，
则A+B=0，A-B=1，得A=

1

2

，B=-

1

2

，
∴-

1

2

=B≤S_k≤A=

1

2

，即：|S_k|≤

1

2

（2）若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，由前面的证明过程知：
a₁≥0，a₂≥0，…，a_m≥0，a_m+1≤0，a_m+2≤0，…，a_n≤0，
且a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，
如果{S_k}是n阶“期待数列”，
记数列{S_k}（k=1，2，3，…，n）的前k项和为T_k ，
则由（i）知，|T_k |≤

1

2

，
∴T_m=S₁+S₂+…+S_m≤

1

2

，而S_m=

1

2

，
∴S₁=S₂=…=S_m-1=0，从而a₁=a₂=…=a_m-1=0，a_m=

1

2

．
又a_m+1+a_m+2+…+a_n=-

1

2

，则S_m+1，S_m+2，…，S_n≥0．
∴|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=S₁+S₂+S₃+…+S_n．
S₁+S₂+S₃+…+S_n=0与|S₁|+|S₂|+|S₃|+…+|S_n|=1不能同时成立．
∴对于有穷数列a₁，a₂，…，a_n（n=2，3，4，…），若存在m∈{1，2，3，…，n}使S_m=

1

2

，
则数列{a_i}的和数列{S_k}（k=1，2，3，…，n）不能为n阶“期待数列”．

点评：本题是新定义题，考查了数列与不等式的结合，解答此题的关键是明确题意，充分借助于题设中给出的两个条件，明确数列中的非负数项和负数项，是难度较大的题型．