Question

已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

，圆C的参数方程为

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ为参数）
（Ⅰ）判断直线l圆C的位置关系；
（Ⅱ）若椭圆的参数方程为

x=2cosφ y= 3 sinφ

（φ为参数），过圆C的圆心且与直线l垂直的直线l′与椭圆相交于两点A、B，求|CA|•|CB|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程,圆的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把直线l的极坐标方程、圆的参数方程化为普通方程，利用圆心C到直线l的距离d与半径r的关系判定直线l与圆C的位置关系；
（Ⅱ）把椭圆的参数方程化为普通方程，由直线l求出直线l′的参数方程，把直线l′的参数方程代入椭圆的普通方程中，根据参数t的几何意义，得出|CA|•|CB|=|t₁t₂|．

解答： 解：（Ⅰ）将直线l的极坐标方程ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

化为直角坐标方程是x+y-1=0，
将圆的参数方程化为普通方程是x²+（y+2）²=4，
∴圆心为C（0，-2），半径为r=2；
∴圆心C到直线l的距离为d=

|0-2-1|

2

=

3

2

=

2 2

2

＞r=2，
∴直线l与圆C相离；
（Ⅱ）将椭圆的参数方程化为普通方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
又∵直线l：x+y-1=0的斜率为k₁=-1，
∴直线l′的斜率为k₂=1，即倾斜角为

π

4

；
则直线l′的参数方程为：

x=tcos π 4 y=-2+tsin π 4

，
即

x= 2 2 t y=-2+ 2 2 t

（t为参数）；
把直线l′的参数方程

x= 2 2 t y=-2+ 2 2 t

代入

x2

4

+

y2

3

=1
得：7t²-16

2

t+8=0；
由于△=(-16

2

)2-4×7×8＞0，
∴设t₁、t₂是上述方程的两个实根，
则有

t1+t2= 16 2 7 t1t2= 8 7

；
又直线l′过点C（0，-2），
∴由上式及t的几何意义，得：
|CA|•|CB|=|t₁t₂|=

8

7

．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标方程化为普通方程，要明确参数方程中的参数的集合意义，是中档题．