如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=2，BC₁=

2

，CC₁=

2

，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E，F分别为棱AB、CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（2）若A到面BCC₁的距离为整数，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的余弦值为

7

3

，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于D，DE⊥AC，交AC的延长线于E，OE交AD于F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=4，AB=10，求

AF

DE

的值．

为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试
（1）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关

	优秀	非优秀	总计
甲班
乙班		30
总计	60

（2）为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为

1

2

，得80分以上的概率为

1

3

，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d

P（K2＞k0）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

已知点P在圆x²+y²=1上运动，DP⊥y轴，垂足为D，点M在线段DP上，且

|DM|

|DP|

=

2

2

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与y轴交于点Q（0，m）（m≠0），与点M的轨迹交于相异的两点A，B，且

AQ

=λ

QB

，若

OA

+λ

OB

=4

OQ

．求m的取值范围．

已知函数f（x）=x-alnx-1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=2，对于任意的x∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（2，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=1，S₉=45．数列{b_n}满足b_n=

an

3n

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：-

10

9

≤T_n≤-1．

甲、乙、丙三人参加一项技能测试，已知甲通过测试的概率为

3

5

，乙通过测试的概率为

1

2

，乙、丙两人同时通过测试的概率为

1

3

，且三人能否通过测试相互独立．
（1）求三人中至少一人通过测试的概率；
（2）设X为甲、乙、丙三人中通过测试的人数，求X的分布列和数学期望．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

3

2

a_n-n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1），则对任意n∈N^*，是否存在正整数m，使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

4

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

袋中有大小相同的五个小球，编号分别为l，2，3，4，5，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为奇数，则把该球编号改为6后放回袋中，继续取球；若所取球的编号为偶数，则直接放回袋中，继续取球．
（Ⅰ）求第二次取到编号为偶数球的概率．
（Ⅱ）求两次取出的球的编号之差的绝对值小于2的概率．

如图，点A在直径为15的⊙O上，PBC是过点O的割线，且PA=10，PB=5．
（Ⅰ）求证：PA与⊙O相切；
（Ⅱ）求S△_ACB的值．