Question

甲、乙、丙三人参加一项技能测试，已知甲通过测试的概率为

3

5

，乙通过测试的概率为

1

2

，乙、丙两人同时通过测试的概率为

1

3

，且三人能否通过测试相互独立．
（1）求三人中至少一人通过测试的概率；
（2）设X为甲、乙、丙三人中通过测试的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）由已知条件求出丙通过的概率，由此利用对立事件的概率能求出三人中至少一人通过测试的概率．
（2）由题意知X=0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）设丙通过的概率为x，
∵乙通过测试的概率为

1

2

，乙、丙两人同时通过测试的概率为

1

3

，且三人能否通过测试相互独立．
∴

1

2

x=

1

3

，∴x=

2

3

，
∵甲通过测试的概率为

3

5

，∴三人中至少一人通过测试的概率：
p=1-（1-

3

5

）（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

14

15

．
（2）由题意知X=0，1，2，3，
P（X=0）=（1-

3

5

）（1-

1

2

）（1-

2

3

）=

1

15

，
P（X=1）=

3

5

(1-

1

2

)(1-

2

3

)+（1-

3

5

）•

1

2

•（1-

2

3

）+（1-

3

5

）（1-

1

2

）•

2

3

=

3

10

，
P（X=2）=

3

5

•

1

2

•(1-

2

3

)+

3

5

•(1-

1

2

)•

2

3

+(1-

3

5

)•

1

2

•

2

3

=

13

30

，
P（X=3）=

3

5

×

1

2

×

2

3

=

1

5

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 15	3 10	13 30	1 5

EX=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．