Question

已知函数f（x）=x-alnx-1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=2，对于任意的x∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在区间（2，3）上不是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）中通过求导讨论a的取值范围确定单调区间，（Ⅱ）中先求出g（x）的表达式，再通过求导得出不等式组，从而确定m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：f（x）的定义域为：{x|x＞0}，
又∵f′（x）=1-

a

x

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，
令f（x）＞0，解得：x＞a，f（x）在（a，+∞）上单调递增，
令f（x）＜0，解得：0＜x＜a，f（x）在（0，a）上单调递减；
综上所述：
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（0，a）上单调递减．
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=x-2lnx-1，
∴f′（x）=1-

2

x

，
∴g（x）=x³+（1+

m

2

）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（2-m）x-2，
又g′（0）=-2，g（x）在（2，3）上不是单调函数，
∴

g(2)＜0 g(3)＞0

即：

3m+31＞0 2m+14＜0

，
解得：-

31

3

＜m＜-7．
∴实数m的范围是：（-

31

3

，-7）．

点评：本题考察了求导函数，讨论函数的单调区间，导函数的应用，是一道综合题．