Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=

3

2

a_n-n．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1），则对任意n∈N^*，是否存在正整数m，使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

4

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据条件结合等比数列的定义，利用构造法即可证明数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）利用裂项法求出b_n，然后利用数列和不等式之间的大小关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1，a₁=S₁=

3

2

a₁-1，即a₁=2，
当n≥2时，由S_n=

3

2

a_n-n．得S_n-1=

3

2

a_n-1-n+1．
两式相减得S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1-1=a_n-1．
即a_n=3a_n-1+2，
则a_n+1=3（a_n-1+1），
即数列{a_n+1}是公比q=3的等比数列，首项为a₁+1=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
则log₃（a_n+1）=log₃3ⁿ=n，
即b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
则

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
则

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

），
若

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

4

都成立，
则2（1-

1

n+1

）≥

m

4

都成立，
即m≤8（1-

1

n+1

）对任意正整数n都成立．
∵1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

，
∴m≤4，
即m=1，2，3，4．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，利用裂项法求前n项和的应用，考查数列与不等式的应用，综合性较强，运算量较大．