题目内容
已知点P在圆x2+y2=1上运动，DP⊥y轴，垂足为D，点M在线段DP上，且
=
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与y轴交于点Q（0，m）（m≠0），与点M的轨迹交于相异的两点A，B，且
=λ
，若
+λ
=4
．求m的取值范围．
| |DM| |
| |DP| |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与y轴交于点Q（0，m）（m≠0），与点M的轨迹交于相异的两点A，B，且
| AQ |
| QB |
| OA |
| OB |
| OQ |
考点：直线和圆的方程的应用
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）利用代入法，根据点P在圆x2+y2=1上运动，即可求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）把y=kx+m代入y2+2x2=1得（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，利用韦达定理，结合
=λ
，
+λ
=4
，即可求m的取值范围．
（Ⅱ）把y=kx+m代入y2+2x2=1得（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，利用韦达定理，结合
| AQ |
| QB |
| OA |
| OB |
| OQ |
解答：
解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），
则
得x0=
x，y0=y，
又∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上
∴y2+2x2=1
∴点M的轨迹方程为y2+2x2=1 …（4分）
（Ⅱ）设直线l与点M的轨迹交于相异的两点A（x1，y1，B（x2，y2）．
把y=kx+m代入y2+2x2=1得（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，
∴△=4（k2-2m2+2）＞0 …（6分）
x1+x2=
①，x1?x2=
②
∵
=λ
，∴
+λ
=（1+λ）
，
又
+λ
=4
．∴λ=3，即
=3
，
∴x1=-3x2③，…（8分）
由①②③得4k2m2+2m2-k2-2=0 …（10分）
当m2=
时，4k2m2+2m2-k2-2=-
＜0，不合题意
当m2≠
时，k2=
，
由△=4（k2-2m2+2）＞0得k2＞2m2-2，∴
＞2m2-2，解得m∈（-1，-
）∪（
，1）
∴m的取值范围为（-1，-
）∪（
，1）…（12分）
则
|
得x0=
| 2 |
又∵P（x0，y0）在圆x2+y2=1上
∴y2+2x2=1
∴点M的轨迹方程为y2+2x2=1 …（4分）
（Ⅱ）设直线l与点M的轨迹交于相异的两点A（x1，y1，B（x2，y2）．
把y=kx+m代入y2+2x2=1得（k2+2）x2+2kmx+m2-1=0，
∴△=4（k2-2m2+2）＞0 …（6分）
x1+x2=
| -2km |
| k2+2 |
| m2-1 |
| k2+2 |
∵
| AQ |
| QB |
| OA |
| OB |
| OQ |
又
| OA |
| OB |
| OQ |
| AQ |
| QB |
∴x1=-3x2③，…（8分）
由①②③得4k2m2+2m2-k2-2=0 …（10分）
当m2=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
当m2≠
| 1 |
| 4 |
| 2-2m2 |
| 4m2-1 |
由△=4（k2-2m2+2）＞0得k2＞2m2-2，∴
| 2-2m2 |
| 4m2-1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴m的取值范围为（-1，-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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| A、0 | ||
B、
| ||
C、
| ||
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|
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，
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| a |
| 2 |
| b |
| 2 |
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| ||
| B、（0，1） | ||
C、（0，
| ||
D、（
|
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