已知数列[a_n}满足：na_n+1=（n+2）a_n+n，（n∈N^*）且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ⁺¹(an)-

1

2

，数列{b_n}的前项和为T_n，求证：n≥2时，T_2n-1＜ln2且T_2n＞ln2．

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

2an

an+2

（n∈N），
（1）写出a₂、a₃、a₄、a₅值；
（2）由前5项猜想数列{a_n}通项公式a_n并证明．

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1，
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，求证：a₁，a₂，a₃不成等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．

（Ⅰ）求该多面体的体积与表面积；
（Ⅱ）请在棱AD上确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．

已知函数f（x）=alnx-x²，函数f（x）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）函数g（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又g′（x）是函数g（x）的导函数，证明：g′(

x1+x2

2

)＜0．

某中学招聘教师有笔试、面试两个环节，笔试成绩超过85分者才能进入面试环节，现已记录前来应聘的9位男教师和9位女教师的笔试成绩，成绩用茎叶图表示如图所示．
（Ⅰ）求男教师的平均成绩和女教师成绩的中位数；
（Ⅱ）从进入面试环节的老师中随机挑选2位老师，求2位老师中至少有一位男教师的概率．

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小．
（2）求cos²A+cos²B的取值范围．

已知f（x）=sinx+2sin（

π

4

+

x

2

）cos（

π

4

+

x

2

）．
（1）求f（x）在R上的单调递增区间；
（2）若f（α）=

2

2

，α∈（-

π

2

，0），求α的值；
（3）若sin

x

2

=

4

5

，x∈（

π

2

，π），求f（x）的值．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）椭圆E的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F₁，F₂，求该平行四边形面积的最大值．