Question

已知f（x）=sinx+2sin（

π

4

+

x

2

）cos（

π

4

+

x

2

）．
（1）求f（x）在R上的单调递增区间；
（2）若f（α）=

2

2

，α∈（-

π

2

，0），求α的值；
（3）若sin

x

2

=

4

5

，x∈（

π

2

，π），求f（x）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，利用二倍角公式化简函数解析式f（x）=

2

sin（x+

π

4

），然后借助于三角函数的性质求解；
（2）利用f（α）=

2

2

，求解sin（α+

π

4

）=

1

2

，然后，结合α∈（-

π

2

，0），得到α的值-

π

12

；
（3）首先，根据sin

x

2

=

4

5

，x∈（

π

2

，π），求解得到cos

x

2

=-

3

5

，进一步得到sinx=-

24

25

，cosx=-

7

25

，最后，借助于f（x）=sinx+cosx，从而求解其值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx+2sin（

π

4

+

x

2

）cos（

π

4

+

x

2

）
=sinx+sin（

π

2

+x）
=sinx+cosx
=

2

sin（x+

π

4

），
∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，
∴f（x）在R上的单调递增区间[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，（k∈Z）；
（2）∵f（α）=

2

2

，
∴f（α）=

2

sin（α+

π

4

）=

2

2

，
∴sin（α+

π

4

）=

1

2

，
∵α∈（-

π

2

，0），
∴（α+

π

4

）∈（-

π

4

，

π

4

），
∴α+

π

4

=

π

6

，
∴α=-

π

12

，
∴α的值-

π

12

；
（3）∵sin

x

2

=

4

5

，x∈（

π

2

，π），
∴cos

x

2

=-

1-sin2 x 2

=-

3

5

，
∴sinx=2sin

x

2

cos

x

2

=-

24

25

，cosx=2cos²

x

2

-1=-

7

25

，
∵f（x）=sinx+cosx=-

7

25

-

24

25

=-

31

25

，
∴f（x）的值-

31

25

．

点评：本题综合考查了三角恒等变换公式、二倍角公式、辅助角公式等知识，考查比较综合，属于中档题．