Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

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a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，求证：a₁，a₂，a₃不成等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）假设存在一个实数λ，使a₁，a₂，a₃是等比数列，由等比中项的概念列式得到矛盾的等式，说明假设错误，结论得到证明；
（2）由递推式b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21）得到b_n+1，进一步得到bn+1=-

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bn，求出b₁=-（λ+18），
由此可知当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

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为公比的等比数列．

解答： （1）证明：假设存在一个实数λ，使a₁，a₂，a₃是等比数列，则有a22=a1a3，
即(

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λ-3)2=λ(

4

9

λ-4)，整理得

4

9

λ2-4λ+9=

4

9

λ2-4λ，得到9=0，矛盾．
∴a₁，a₂，a₃不成等比数列；
（2）解：∵b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），
∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(

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an-2n+14)
=

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3

(-1)n(an-3n+21)=-

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bn，
又b₁=-（λ+18），
∴当λ=-18时，b_n=b₁=0，（n为正整数），此时{b_n}不是等比数列；
当λ≠-18时，b₁≠0，由上式可知b_n≠0，
∴

bn+1

bn

=-

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（n为正整数），
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

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为公比的等比数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定及等比数列的性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．