Question

已知函数f（x）=alnx-x²，函数f（x）在x=1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）函数g（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又g′（x）是函数g（x）的导函数，证明：g′(

x1+x2

2

)＜0．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据f（x）在x=1处取得极值知f′（1）=a-2=0，解方程即可求实数a的值；
（2）由题意可得，f（x）-mx=0有两个实根x₁，x₂，化简可得x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，从而不等式g′(

x1+x2

2

)＜0，可化为

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，令

x1

x2

=t，则0＜t＜1，令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，利用导数推出在（0，1）上，h′（t）＜0，h（t）单调递减，h（t）＞h（1）=0，从而不等式可证．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x²，
∴f′（x）=

a

x

-2x，
∵函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=a-2=0，
∴a=2；
（2）证明：g（x）=f（x）-mx=2lnx-x²-mx，
∴g′（x）=

2

x

-2x-m，
∵函数g（x）=f（x）-mx的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），
∴2lnx₁-x₁²-mx₁=0，2lnx₂-x₂²-mx₂=0，
两式相减可得2ln

x1

x2

-（x₁+x₂）（x₁-x₂）-m（x₁-x₂）=0
∴x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，
g′（

x1+x2

2

）=

4

x1+x2

-（x₁+x₂+m）=

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

，
要证g′(

x1+x2

2

)＜0，
即证

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

＜0，
即证

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，
即证

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

=2-

4

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

＞0…①，
令

x1

x2

=t，则0＜t＜1，
令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，
则h′（t）=

4

(t+1)2

-

1

t

，
由h′（t）=0得，t=1，
∴当0＜t＜1时h′（t）＜0，h（t）单调递减，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴①式得证．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于难题．