题目内容

已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB．
（1）求角C的大小．
（2）求cos2A+cos2B的取值范围．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）利用正弦定理以及余弦定理求出角C的余弦函数值，然后求出C的大小．
（2）利用三角形的内角和，通过两角和与差的三角函数化简所求表达式，结合角的范围，利用正弦函数的值域即可求cos2A+cos2B的取值范围．
解答： 解：（1）由正弦定理可知（a-c）（a+c）=（a-b）b              …（2分）
即a2+b2-c2=ab．
由余弦定理得 cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
1
2
              …（4分）
所以 C=
π
3
                                          …（5分）
（2）∵A+B=
2π
3
，故B=
2π
3
-A，
所以cos2A+cos2B=1+
1
2
cos2A+
1
2
cos（
4π
3
-2A）
=1-
3
4
sin2A+
1
4
cos2A=1+
1
2
sin(2A+
5π
6
)             …（8分）
因△ABC为锐角三角形，所以 
π
6
＜A＜
π
2

∴
7π
6
＜2A+
5π
6
＜
11π
6
                              …（10分）
∴-
1
2
≤
1
2
sin(2A+
5π
6
)＜-
1
4

∴cos2A+cos2B的取值范围：[
1
2
，
3
4
）．…（12分）
点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2
3
，A=
π
3
．
（Ⅰ）若b=2
2
，求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求边b的长．
如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF=FG．求证：
（Ⅰ）△DEF∽△EAF；
（Ⅱ）EF∥CB．
已知椭圆C的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上任意一点，且|PF1|•|PF2|的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，满足
OA
+
OB
=t
OP
（O为坐标原点），当|
PA
-
PB
|＜
2
5
3
时，求实数t的取值范围．
已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|=3．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（ⅰ）求
OA
•
OB
的值；
（ⅱ）若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．
已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1，
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
已知二次函数y=-x2+（2m+2）x-（m2+4m-3），m为不小于0的整数，其图象交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设一次函数y=kx+b的图象过点A并与二次函数的图象交于点C，且△ABC的面积为10，求一次函数的解析式．
已知⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D．
（Ⅰ）当点D与点A不重合时（如图①），证明ED2=EB•EC；
（Ⅱ）当点D与点A重合时（如图②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直径长．
在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为一边向△ABC外作等边△ABD，若∠BCD=2∠ACD，
AD
=λ
AB
+μ
AC
，则λ+μ=
 
．

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