Question

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1，
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）求出方程f（x）=0有两相等实根的等价条件，利用古典概型的概率公式，即可得到结论．
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．

解答： 解：（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，
则满足条件的a，b共有6×6=36种．
若a=-1，则函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数不成立，
若a＞0，要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=-

-4b

2a

=

2b

a

≤1，即a≥2b，
①若a=1，则b=-2，-1；
②若a=2，则b=-2，-1，1；
③若a=3，则b=-2，-1，1；
④若a=4，则b=-2，-1，1，2；
⑤若a=5，则b=-2，-1，1，2，
∴故满足条件的数对（a，b）共有16种，
则根据古典概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=

16

36

=

4

9

（2）∵a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数
∴1≤a≤3，且1≤b≤3对应区域的面积S=2×2=4，
∴若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则对称轴x=-

-4b

2a

=

2b

a

≤1，即a≥2b，
作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分
则A（3，1），
当a=3时，b=

3

2

，即D（3，

3

2

），
当b=1时，a=2，即C（2，1），
则三角形ACD的面积S=

1

2

×(3-2)×(

3

2

-1)=

1

4

则由几何概型的概率公式可得函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为

1 4

4

=

1

16

．

点评：本题主要考查概率的计算，根据古典关系和几何概型的概率公式是解决本题的关键．