Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）椭圆E的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F₁，F₂，求该平行四边形面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆E的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，把点P（1，

3

2

）代入，能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）当直线AD的斜率不存在时，?ABCD的面积S=6．当直线AD的存在时，设其方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理求出?ABCD的面积S＜6，由此求出符合条件的椭圆内接?ABCD的面积的最大值为6．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

1

2

，且经过点P（1，

3

2

），
∴

c

a

=

1

2

，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴椭圆E的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
把点P（1，

3

2

）代入，得

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c²=1，
∴椭圆E的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当直线AD的斜率不存在时，直线AD的方程为x=1，
解方程组

x2 4 + y2 3 =1 x=1

，得A（1，

3

2

），D（1，-

3

2

），
∴?ABCD的面积S=6．
当直线AD的存在时，设其方程为y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消去y整理，得：
（3+4k²）x²-k²x+4k²-12=0，
∴x1 +x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|AD|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

12(k2+1)

3+4k2

，
又F1 (-1，0)到AD的距离d=

2|k|

1+k2

，
∴?ABCD的面积：
S=|AD|•d=

24|k| 1+k2

3+4k2

=6

16k4+16k2 16k4+24k2+9

=6

1- 8k2 (3+4k2)2

＜6，
综上，符合条件的椭圆内接?ABCD的面积的最大值为6．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．