若函数y=3mx²-（2m+6）x+m+3在（-∞，1）上单减，求实数m的取值范围．

若过椭圆

x2

12

+

y2

3

=1内一点（2，1）的弦被该点平分，求该弦所在直线的方程．

比较下列两组数的大小，并说明理由．
（1）

7

+

10

与

3

+

14

（2）当x＞1时，x³与x²-x+1．

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=

π

2

，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

已知数列{a_n}满足递推关系，a_n+1=

2an2+3an+m

an+1

（n∈N^*），又a₁=1．
（1）当m=1时，求证数列{a_n+1}为等比数列；
（2）当m在什么范围取值时，能使数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立？
（3）当-3≤m＜1时，证明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

已知Q是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一点，P（1，-1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）若QF₁²-QF₂²=4，求cos∠F₁QF₂的值；
（2）求QP+QF₂的最大值，并求出此时Q点坐标．

在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，

2

）且斜率为k的直线l与椭圆

x2

2

+y2=1有两个不同的交点P、Q，
（Ⅰ）若|PQ|=

4

3

；求直线l的斜率k的值；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

已知函数f（x）定义在R上，对任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）．
（Ⅰ）求f（0），并证明：f（x-y）=

f(x)

f(y)

；
（Ⅱ）若f（x）单调，且f（1）=2．设向量

a

=（

2

cos

θ

2

，1），

b

=（

2

λsin

θ

2

，cos²θ），对任意θ∈[0，2π），f（

a

•

b

）-f（3）≤0恒成立，求实数λ的取值范围．

已知直线l：ax-y=0在矩阵A=[

0 1 1 2

]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．

（1）已知

2

x

+

1

y

=4，其中x＞0，y＞0，求xy的最小值，及此时x与y的值．
（2）关于x的不等式（x+1）（x-a）≤0，讨论x的解．