Question

在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，

2

）且斜率为k的直线l与椭圆

x2

2

+y2=1有两个不同的交点P、Q，
（Ⅰ）若|PQ|=

4

3

；求直线l的斜率k的值；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直线l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，由此能求出直线l的斜率k的值．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x1+x2=-

2

(y1+y2)，由此能求出不存在这样的常数k满足条件．

解答： （本小题12分）
解：（1）∵直线l经过点（0，

2

）且斜率为k，
∴l：y=kx+

2

，…（1分）
由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，…（3分）
由△=8k²-（2+4k²）＞0，得k2＞

1

2

，…（4分）
∴|PQ|=

1+k2• 4k2-2 1 2 +k2

=

4

3

，解得k²=1，或k2=-

11

10

（舍）
∴k=±1．…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)…（7分）
∵x1+x2=-

2 2 k

1 2 +k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₁）+2

2

=

2

1 2 +k2

，…（9分）
∴

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x1+x2=-

2

(y1+y2)，…（10分）
由上述式子得：k=

2

2

…（11分）
又∵k2 ＞

1

2

，∴不存在这样的常数k满足条件．…（12分）

点评：本题考查直线的斜率的值的求法，考查满足条件的常数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量共线的条件的合理运用．