Question

在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=

π

2

，AB=AD=PD=1，CD=2．设Q为侧棱PC上一点，

PQ

=λ

PC

，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角

分析：以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为45°．

解答： 解：∵侧面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩ABCD=CD，PD⊥CD，
∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，即DA、DC、DP两两垂直，
如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=AD=PD=1，CD=2，
∴D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，2，0），
∴

DB

=(1，1，0)，

DP

=(0，0，1)，

PC

=(0，2，-1)，
设平面PBD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n • DB =x+y=0 n • DP =z=0

，取x=-1，得

n

=(-1，1，0)，
设

PQ

=λ

PC

=（0，2λ，-λ），λ∈（0，1），
则Q（0，2λ，1-λ），

DQ

=(0，2λ，1-λ)，
设平面QBD的一全法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • DB =a+b=0 m • DQ =2λb+(1-λ)c=0

，
取x=-1，得

m

=（-1，1，

2λ

λ-1

），
∵二面角Q-BD-P为45°，
∴cos45°=

| m • n |

| m |•| n |

=

2

2 • 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，
由λ∈（0，1），解得λ=

2

-1．

点评：本题考查使得二面角为45°的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．