甲工作室有1名高级工程师A₁和3名工程师B₁，B₂，B₃，乙工作室有2名高级工程师A₂，A₃和1名工程师B₄，现要从甲工作室中选出2人，从乙工作室中选出1人支援外地建设．
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的选法？请列出所有可能的选法；
（Ⅱ）求选出的3人均是工程师的概率：
（Ⅲ）求选出的3人中至少有1名高级工程师的概率．

选修4.1：几何证明选讲
如图所示，己知D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B，D，交AB于另一点E⊙O₂经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂的另一交点为G
（Ⅰ）求证：A、E、G、F四点共圆
（Ⅱ）若AG切⊙O₂于G，求证：∠AEF=∠ACG．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（2）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并证明；若不存在请说明理由．

已知函数y=

ax2+2ax+1

的定义域为R．
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为

2

2

，解关于x的不等式x²-x-a²-a＜0．

设数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+n+1，则通项a_n=．

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1，S_n+1=2S_n+1，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＜

9

Sn+1

的n值．

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0．

已知sinα+3cosα=0，求sinα，cosα的值．

（1）已知tanα=3，求（sinα+cosα ）²的值；
（2）已知0＜α＜

π

4

，sin（α+

π

4

）=

12

13

，求

sinα

cos( π 4 -α)

的值．