Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并证明；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（2）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求．

解答： （1）证明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD．
又∵∠BAD=90°，∴AB，AD，AP两两垂直．
分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
∴

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），

CD

=（-1，1，0），
∴

AP

•

AC

=0，

AC

•

CD

=0，
∴AP⊥CD，AC⊥CD．
又∵AP∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）设侧棱PA的中点是E，则E（0，0，

1

2

），
则

BE

=（-1，0，

1

2

）．
设平面PCD的一个法向量是

n

=（x，y，z），则
∵

CD

=（-1，1，0），

PD

=（0，2，-1），
∴

-x+y=0 2x-z=0

，取x=1，则

n

=（1，1，2）．
∴

n

•

BE

=-1+0+1=0，
∴

n

⊥

BE

，
∵BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD．

点评：利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．