Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁=1，S_n+1=2S_n+1，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＜

9

Sn+1

的n值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据S_n+1=2S_n+1，求得Sn=2S_n-1+1两式相减求得a_n+1=2a_n，判断出{a_n}是一个等比数列．进而根据首项和公比求得数列的通项公式，
（2）根据等比数列的求和公式求得前n项的和，解不等式即可求出n的值．

解答： 解：（1）∵S_n+1=2S_n+1，
∴n≥2时，S_n=2S_n-1+1，
二式相减得：S_n+1-S_n=2S_n-2S_n-1
∴a_n+1=2a_n，即

an+1

an

=2，即{a_n}是一个等比数列．q=2，a₁=1
那么a_n=1×2^n-1=2^n-1．
（2）S_n=

1-2n

1-2

═2ⁿ-1，

1

an

=

1

2n-1

=(

1

2

)n-1，
则数列{

1

an

}是首项为1，公比q=

1

2

的等比数列，
则数列{

1

an

}的前n项和为T_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1，
则不等式T_n＜

9

Sn+1

等价为2-(

1

2

)n-1＜

9

2n

，
即

9

2

•(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-1=

11

2

•(

1

2

)n-1＞2，
即(

1

2

)n-1＞

4

11

，
则当n=1时，1＞

4

11

，成立，
当n=2时，

1

2

＞

4

11

，成立，
当n=3时，

1

4

＞

4

11

，不成立，
故满足不等式T_n＜

9

Sn+1

的n值为1或2．

点评：本题主要考查了数列的递推式．常需要借助数列的递推式把数列转化成等差或等比数列来解决问题．