Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（1）求证：BF∥平面A₁EC；
（2）求证：平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，证明四边形BEOF是平行四边形，可得BF∥OE，利用线面平行的判定定理，即可证明BF∥平面A₁EC；
（2）证明平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁，只需证明OE⊥平面A₁EC．

解答： 证明：（1）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，
∵F为AC的中点，
∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E为BB₁的中点，
∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四边形BEOF是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC
（2）∵AB=CB，F为AC的中点，
∴BF⊥AC
由（1）知BF∥OE，
∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，
∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，
∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，
∴OE⊥平面AA₁C₁C
∵OE?面A₁EC，
∴平面A₁EC⊥平面AA₁C₁C．

点评：本小题主要考查线面平行，平面与平面垂直的判定等有关基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于中档题．