Question

选修4.1：几何证明选讲
如图所示，己知D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B，D，交AB于另一点E⊙O₂经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂的另一交点为G
（Ⅰ）求证：A、E、G、F四点共圆
（Ⅱ）若AG切⊙O₂于G，求证：∠AEF=∠ACG．

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定,圆的切线的性质定理的证明

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）连接GD，由圆内接四边形的性质，可得∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，从而可得∠AEG+∠AFG=180°，即可证明A、E、G、F四点共圆；
（Ⅱ）A、E、G、F四点共圆，可得∠AEF=∠AGF，由AG切⊙O₂于G，可得∠AGF=∠ACG，从而可得结论．

解答： 证明：（Ⅰ）连接GD．
∵四边形BDGE，CDGF是圆内接四边形，
∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG
∵∠BDG+∠CDG=180°，
∴∠AEG+∠AFG=180°，
∴A、E、G、F四点共圆；
（Ⅱ）∵A、E、G、F四点共圆，
∴∠AEF=∠AGF，
∵AG切⊙O₂于G，
∴∠AGF=∠ACG，
∴∠AEF=∠ACG．

点评：本题以三角形内角和与圆内接四边形为例，考查了与圆有关的角相等和角互补的证明，属于基础题．