已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

1+an

（n∈N⁺）
（1）分别求a₂，a₃，a₄的值．
（2）猜想{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．

如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的正切值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（Ⅲ）在（Ⅰ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求C点到平面AFD的距离；
（3）试在棱AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ） 求异面直线CB₁与C₁A₁所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求证：A₁B∥平面ADC₁；

已知等比数列{a_n}中，a₁＞1，公比q＞0，设b_n=log₂a_n，且b₃=2，b₅=0
（1）求证：数列{b_n}是等差数列．
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n．

如图，正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，BF∥PA，BF=

1

3

PA，E为AB的中点
（Ⅰ）求证：DE∥平面PCF；
（Ⅱ）若PC与平面ABCD所成的角为60°，求二面角F-PC-A的余弦值．

“病毒X”已经扩散，威胁着人类．某两个大国的研究所A、B独立地研究“病毒X”疫苗，研究所A、B研制成功的概率分别为

1

3

和

1

4

，且他们是否研制成功互不影响．
（Ⅰ）求疫苗研制成功的概率；
（Ⅱ）若资源共享，则提高了效率，且他们研制成功的概率比独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%．又疫苗研制成功可获得经济效益a万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配．请你给A研究所参谋：是否应该采用与B研究所合作的方式来研究疫苗，并说明理由．

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（1）求证：CE²=CD•CB；
（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．