Question

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（1）求证：CE²=CD•CB；
（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）要证CE²=CD•CB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；
（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE²=CD•CB，代入CE即可得出CD的长．

解答： （1）证明：连接BE．
∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°                   …（2分）
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO        …（4分）
∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，
∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，
∴

CE

CB

=

CD

CE

，∴CE²=CD•CB       …（6分）
（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=

5

，∴CE=OC-OE=

5

-1         …（8分）
由（1）CE²=CD•CB得：（

5

-1）²=2CD，∴CD=3-

5

     …（10分）

点评：本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．