Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求C点到平面AFD的距离；
（3）试在棱AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明B₁F⊥平面ADF，只需证明B₁F⊥AF，AD⊥B₁F；
（2）利用等体积，可求C点到平面AFD的距离；
（3）当AE=2a时，BE∥平面ADF，再进行证明即可．

解答： （1）证明：∵AB=AC，D为BC中点∴AD⊥BC
又在直三棱柱中，BB₁⊥底面ABC，
AD?底面ABC，
∴AD⊥BB₁，∴AD⊥平面BCC₁B₁，…2′
∵B₁F?平面BCC₁B₁
∴AD⊥B₁F，在矩形BCC₁B₁中，C₁F=CD=a，CF=C₁B₁=2a，
∴Rt△DCFRt≌△FC₁B₁，…5′
∴∠CFD=∠C₁B₁F，∴∠B₁FD=90°，即B₁F⊥FD
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面AFD…6′
（2）解：AD=2

2

a，  且AD⊥平面BB1C1C
∴AD⊥DF，DF=

5

a
∴S△ADF=

10

a2，S△ACD=

2

a2
∵V_c-AFD=V_F-ACD…15′
∴h=

2 5

5

a…9′
（3）解：当AE=2a时，BE∥平面ADF．
证明：连EF，EC，设EC∩AF=M，
连DM，∵AE=CF=2a，
∴AEFC为矩形，
∴M为EC中点，∵D为BC中点，…13′
∴MD∥BE，∵MD?平面ADF，
BE?平面ADF，∴BE∥平面ADF．…16′

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．