题目内容

“病毒X”已经扩散，威胁着人类．某两个大国的研究所A、B独立地研究“病毒X”疫苗，研究所A、B研制成功的概率分别为
1
3
和
1
4
，且他们是否研制成功互不影响．
（Ⅰ）求疫苗研制成功的概率；
（Ⅱ）若资源共享，则提高了效率，且他们研制成功的概率比独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%．又疫苗研制成功可获得经济效益a万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配．请你给A研究所参谋：是否应该采用与B研究所合作的方式来研究疫苗，并说明理由．
考点：相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）用1减去两个研究所都没有研制成功的概率，即为所求．
（Ⅱ） 若A研究所独立地研究，“甲型H1N1流感”疫苗，求出其经济效益的期望为
a
3
 万元．再求出A研究所采用与B研究所合作的方式来研究疫苗，所获得的经济效益的期望为
3
8
a万元．再根据这两个期望的大小，得出结论．
解答： 解：（Ⅰ）疫苗研制成功的概率，即两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率，为1-（1-
1
3
）（1-
1
4
）=
1
2
．
（Ⅱ） 若A研究所独立地研究，“甲型H1N1流感”疫苗，则其经济效益的期望为0×
2
3
+a×
1
3
=
a
3
 （万元）．
而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为
1
2
，
所以，两个研究所合作研制成功的概率为
1
2
（1+50%）=
3
4
．
于是A研究所采用与B研究所合作的方式来研究疫苗，所获得的经济效益的期望为0×
1
4
+
1
2
a×
3
4
=
3
8
a万元．
而
3
8
a＞
1
3
a，故应该建议A研究所采用与B研究所合作的方式来研究疫苗．
点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，属于基础题．
练习册系列答案
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观察下列算式：
13=1，
23=3+5，
33=7+9+11，
43=13+15+17+19，
…
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n=（　　）
A、41B、43C、45D、47
若点P为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于M，N两点，若|PM|•|PN|=b2，则该双曲线的离心率为（　　）
A、2
B、
2
C、
2
3
3
D、
3
已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）若M（m，n）为圆C上任意一点，求
n+2
m-1
的最大值与最小值；
（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=
2
，PB=1，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADP⊥平面DEF；
（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点M，使二面角M-DF-E的大小为60°，若存在求出EM：MA，若不存在，则说明理由．
从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（Ⅲ）在（Ⅰ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
方程ax+by+c=0中的a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程表示的直线中，求不同的直线共有多少条．
如图1，⊙O的直径AB=4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB=45°，F为
BC
的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．
（1）求证：OF∥平面ACD；
（2）在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系xOy中，已知AB是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，记OM，AB的斜率分别为kOM，kAB，则kOM•kAB=-
b2
a2
．
（1）类比椭圆的上述性质，给出一个在双曲线中也成立的性质；
（2）证明（1）中的结论．

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