Question

如图，正方形ABCD边长为2，PA⊥平面ABCD，BF∥PA，BF=

1

3

PA，E为AB的中点
（Ⅰ）求证：DE∥平面PCF；
（Ⅱ）若PC与平面ABCD所成的角为60°，求二面角F-PC-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面PCF；
（Ⅱ）建立坐标系，根据PC与平面ABCD所成的角为60°，利用向量法即可求二面角F-PC-A的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）建系如图设A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，3m），F（2，0，m），
则E（1，0，0），
所以可计算得平面PCF的一个法向量为

n

=（2m，m，2），

DE

=（1，-2，0），
即

n

•

DE

=0，
所以DE∥平面PCF．
（Ⅱ）因为∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，
即∠PCA=60°，
所以PA=2

6

，BF=

2 6

3

，m=

2 6

3

，
平面PAC中，

AP

=（0，0，3m），

AC

=（2，2，0），
平面PAC的一个法向量为

l

=（1，-1，0），
则cos＜

n

，

l

＞=

n • l

| n |•| l |

=

m

5m2+4m• 2

=

2 6 3

5× 4×6 9 +4 • 2

=

13

13

则二面角F-PC-A的余弦值为

13

13

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判断，以及空间二面角的计算，利用向量法是解决本题的关键．