Question

如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-B的正切值；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）法1：求二面角A-CD-B的平面角，然后根据边角关系即可得到二面角的正切值；
法2：建立坐标系，求出法向量，利用向量法即可得到结论．
（Ⅲ）方法1：利用等积法求点E到平面ACD的距离．
方法2．利用向量法求距离．

解答： （Ⅰ）证明：连结OC，
∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD，
（Ⅱ）作OF⊥CD于F，连AF，
由（1）知，AO⊥CD，故CD⊥平面AOF，
∴CD⊥AF，∴∠AFO是二面角A-CD-B的平面角，
易知OF=

3

2

，∴tan∠AFO=

2 3

3

．
即所求二面角A-CD-B的正切值为

2 3

3

．
（Ⅲ）设点E到平面ACD的距离为h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴

1

3

h．S△ACD=

1

3

．AO．S△CDE．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S△ACD=

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

．
而AO=1，S△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

AO．S△CDE

S△ACD

=

1× 3 2

7 2

=

21

7

．
∴点E到平面ACD的距离为

21

7

．
方法二：（Ⅰ）同方法一．
（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），
（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n . AD =(x，y，z)．(-1，0，-1)=0 n . AC =(x，y，z)．(0， 3 ，-1)=0

，
∴

x+z=0 3 y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一个法向量，又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴点E到平面ACD的距离h=

| EC . n |

| n |

=

3

7

=

21

7

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角和距离的计算，利用定义法或向量法是解决本题的关键．