题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，D为BC中点．
（Ⅰ） 求异面直线CB1与C1A1所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅰ） 求异面直线CB1与C1A1所成的角余弦值．
（Ⅱ） 求证：A1B∥平面ADC1；
考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）∠ACB1即为异面直线CB1与C1A1所成的角，解三角形可得异面直线CB1与C1A1所成的角余弦值；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A1B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）利用三角形中位线的性质，证明A1B∥OD，利用线面平行的判定定理证明A1B∥平面AC1D；
解答：
解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴C1A1∥CA，
故∠ACB1即为异面直线CB1与C1A1所成的角，
连接AB1，设AB=AC=AA1=a，
∵侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
∴BC=AB1=
a，CB1=
a，
则△ACB1为直角三角形，
故cos∠ACB1=
=
，
证明：（Ⅱ）连结A1C，交AC1于点O，连结OD
因为ACC1A1为正方形，
所以O为AC1中点
又D为BC中点，
所以OD为△A1BC中位线
所以A1B∥OD …（6分）
因为OD?平面AC1D，AB1?平面AC1D
所以A1B∥平面AC1D…（8分）
∴C1A1∥CA，
故∠ACB1即为异面直线CB1与C1A1所成的角，
连接AB1，设AB=AC=AA1=a，
∵侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
∴BC=AB1=
| 2 |
| 3 |
则△ACB1为直角三角形，
故cos∠ACB1=
| AC |
| CB1 |
| ||
| 3 |
证明：（Ⅱ）连结A1C，交AC1于点O，连结OD
因为ACC1A1为正方形，
所以O为AC1中点
又D为BC中点，
所以OD为△A1BC中位线
所以A1B∥OD …（6分）
因为OD?平面AC1D，AB1?平面AC1D
所以A1B∥平面AC1D…（8分）
点评：本题考查线面夹角，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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