如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上且AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为

8

3

．
（1）求直线DP到平面PBG所成角的正弦值；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使异面直线DF与GC所成的角为60°，若存在，确定点F的位置，若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωx•sin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0）在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求函数f（x）图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来2倍的函数解析式．
（2）若将函数f（x）上各点横坐标伸长到的原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

从全校参加期末考试的试卷中，抽取一个样本，考察成绩（均为整数）的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图所示．图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2：3：6：4：1，最右边的一组频数是5．
（1）求样本容量；
（2）求样本90.5～105.5这一组的频数及频率；
（3）如果成绩大于120分为优秀，估计这次考试成绩的优秀率（用百分数表示，精确到1）．

已知函数f（x）=2

2

sin²（

π

4

+x）-

2

（cos2x+1）（x∈R）．

（1）用“五点法”作出函数f（x）在区间[

π

8

，

9π

8

]上的简图；
（2）当x∈（

π

4

，

π

2

）时，恒有-3＜f（x）-m＜3成立，求实数m的取值范围．

已知四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，G、H、M分别是CE、CF、FB的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BDGH；
（Ⅱ）求证：EM⊥平面AFC．

已知点A（1，1），B（2，-1）．
（Ⅰ）求直线AB的方程，并判断直线AB的倾斜角是锐角还是钝角；
（Ⅱ）若点P在x轴上，且∠ABP=90°，求△ABP的面积．

某耗水量较大的企业为积极响应政府号召，对生产设备进行技术改造，以达到节约用水的目的．下表提供了该企业节约用水技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产用水y（吨）的几组对照数据：

x	2	3	4	5
y	3	3.5	4.7	6

（1）请根据表中提供的数据，计算

.

x

和

.

y

的值，已知x，y之间呈线性相关关系，求y关于x的线性回归方程

y

=

b

x+

a

，并解释

b

的含义；
（参考数据：

4

i=1

x_i²=54，

4

i=1

x_iy_i=65.3）
（2）已知该厂技术改造前100吨该产品的生产用水为130吨，试根据（1）中求出的线性回归方程，预测技术改造后生产100吨该产品的用水量比技术改造前减少了多少吨？

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=

1

2

AB．直角梯形ACEF中，EF

∥ .

.

1

2

AC，∠FAC是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）试判断直线DF与平面BCE的位置关系，并证明你的结论．

某商店经营一批进价为每件5元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系：

x	5	6	7	8
y	10	8	7	3

（1）求x，y之间的线性回归方程；
（2）当销售单价为4元时，估计日销售量是多少？（结果保留整数）（参考数据：

4

i=1

x_iy_i-4

.

x

.

y

=-11，

4

i=1

x_i²-4

.

x

²=5，

4

i=1

y_i²-4

.

y

²=26）

设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2，n∈N^*．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不需证明）；
（Ⅱ）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整数n，并给出证明．