Question

设数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2，n∈N^*．
（Ⅰ）求出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式（不需证明）；
（Ⅱ）记S_n为数列{a_n}的前n项和，试求使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整数n，并给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a_n+1=a_n²-2na_n+2，n∈N^*，可求得a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整数n=6，利用数学归纳法证明即可．

解答： 解　（Ⅰ）a₂=5，a₃=7，a₄=9，猜想a_n=2n+1．…（4分）
（Ⅱ）S_n=

n(3+2n+1)

2

=n²+2n，…（6分）
使得2ⁿ＞S_n成立的最小正整数n=6．…（7分）
下面给出证明：n≥6（n∈N^*）时都有2ⁿ＞n²+2n．
①n=6时，2⁶＞6²+2×6，即64＞48成立；…（8分）
②假设n=k（k≥6，k∈N^*）时，2^k＞k²+2k成立，那么2^k+1=2•2^k＞2（k²+2k）=k²+2k+k²+2k＞k²+2k+3+2k=（k+1）²+2（k+1），即n=k+1时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的n≥6（n∈N^*）
都有2ⁿ＞n²+2n成立．                         …（12分）

点评：本题考查递推数列与数学归纳法，考查运算、猜想及推理论证的能力，属于中档题．