Question

已知函数f（x）=sin²ωx+

3

sinωx•sin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx，x∈R（ω＞0）在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（1）求函数f（x）图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来2倍的函数解析式．
（2）若将函数f（x）上各点横坐标伸长到的原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，结合题意可解ω=1，可得解析式，由函数图象的变换可得；
（2）由函数图象的变换可得g（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

3

2

，易得最大值和单调区间．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sin²ωx+

3

sinωx•sin（ωx+

π

2

）+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+

3

sinωx•cosωx+cos²ωx
=1+

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

3

2

，
∵在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

，
∴2ω

π

6

+

π

6

=

π

2

，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
故f（x）图象向右平移

π

6

个单位后，得到的函数解析式为
y=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]+

3

2

=sin（2x-

π

6

）+

3

2

，
再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来2倍的函数解析式为y=sin（x-

π

6

）+

3

2

；
（2）将函数f（x）上各点横坐标伸长到的原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）+

3

2

，∴函数g（x）的最大值为1+

3

2

=

5

2

，
令2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

可得4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+π，
∴函数g（x）单调递减区间为：[4kπ+

2π

3

，4kπ+π]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数图象的性质，涉及三角函数公式以及图象的变换，属中档题．