Question

已知函数f（x）=2

2

sin²（

π

4

+x）-

2

（cos2x+1）（x∈R）．

（1）用“五点法”作出函数f（x）在区间[

π

8

，

9π

8

]上的简图；
（2）当x∈（

π

4

，

π

2

）时，恒有-3＜f（x）-m＜3成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin(2x-

π

4

)，列表描点可得图象，
（2）由x的范围可得f（x）的范围，问题于x∈(

π

4

，

π

2

)时，m-3＜f（x）＜m+3，由恒成立可得m的不等式组，解不等式组可得．

解答： 解：化简可得f(x)=2

2

sin2(

π

4

+x)-

2

(cos2x+1)
=2

2

×

1-cos( π 2 +2x)

2

-

2

cos2x-

2

=

2

sin2x-

2

cos2x=2sin(2x-

π

4

)
（1）列表：

x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	0	2	0	-2	0

 
（2）由x∈（

π

4

，

π

2

）可得

π

4

＜2x-

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

＜2sin（2x-

π

4

）≤2，
∴当x∈（

π

4

，

π

2

）时，恒有-3＜f（x）-m＜3成立，
等价于x∈(

π

4

，

π

2

)时，m-3＜f（x）＜m+3，
∴

m-3≤ 2 m+3＞2

，解得-1＜m≤3+

2

．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式的应用，属中档题．