设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g_n（x）=1+x+

x2

2!

+

x3

3!

+…+

xn

n!

（n∈N₊）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥g₁（x）；
（Ⅱ）证明：当x≥0时，f（x）≥g₂（x）；
（Ⅲ）当x≥0时，比较f（x）与g_n（x）的大小，并证明．

若由1，x，x²构成的集合中含有两个实数，求出x满足的条件．

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，2t]（t＞0）上的单调区间；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＜ln2，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数g（x）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

（x-x₁）+f（x₁），则对任意x∈（x₁+x₂），都有f（x）＞g（x）．

（x+yi）²=y+xi，y和x都为实数，求x，y的值．

求下列函数的值域：y=

2x+3

x+1

（x≥1）．

已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）．
（1）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；
（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，试讨论f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB=2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C₁CF∥ADD₁A₁？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=xlnx+1．
（1）求函数f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值与最小值；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．