Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-2ax²-3x．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；
（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a²x≥lnx-3a-1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＞0时，试讨论f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数恒成立问题,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；
（Ⅱ）由题意：2ax²+1≥lnx，即a≥

lnx-1

2x2

，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f（x）在（-1，1）内的极值点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知f(x)=

2

3

x3-3x，所以f′（x）=2x²-3
又f（3）=9，f′（3）=15
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x-y-36=0…（4分）
（Ⅱ）由题意：2ax²+1≥lnx，即a≥

lnx-1

2x2

设g(x)=

lnx-1

2x2

，则g′(x)=

3-2lnx

2x3

当0＜x＜e

3

2

时，g'（x）＞0；当x＞e

3

2

时，g′（x）＜0
所以当x=e

3

2

时，g（x）取得最大值g(x)max=

1

4e3

故实数a的取值范围为[

1

4e3

，+∞)．…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2x²-4ax-3，f′(-1)=4(a-

1

4

)，f′(1)=-4(a+

1

4

)
①当a＞

1

4

时，∵

f′(-1)=4(a- 1 4 )＞0 f′(1)=-4(a+ 1 4 )＜0

∴存在x₀∈（-1，1），使得f′（x₀）=0
因为f′（x）=2x²-4ax-3开口向上，所以在（-1，x₀）内f′（x）＞0，在（x₀，1）内f′（x）＜0
即f（x）在（-1，x₀）内是增函数，f（x）在（x₀，1）内是减函数
故a＞

1

4

时，f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，且是极大值点．…（11分）
②当0＜a≤

1

4

时，因 

f′(-1)=4(a- 1 4 )≤0 f′(1)=-4(a+ 1 4 )＜0

又因为f′（x）=2x²-4ax-3开口向上
所以在（-1，1）内f′（x）＜0，则f（x）在（-1，1）内为减函数，故没有极值点…（13分）
综上可知：当a＞

1

4

，f（x）在（-1，1）内的极值点的个数为1；当0＜a≤

1

4

时，f（x）在（-1，1）内的极值点的个数为0．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．