Question

已知函数f（x）=xlnx+1．
（1）求函数f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值与最小值；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N^*时，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得f'（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出函数f（x）在x∈[e^-2，e²]上的最大值与最小值．
（2）当x∈（1，+∞）时，y=f（x）的图象恒在直线y=kx的上方，等价于x∈（1，+∞）时，不等式xlnx+1＞kx恒成立．
（3）由（2）知，当x∈（1，+∞）时，xlnx+1＞x?lnx＞1-

1

x

，令x=

n+1

n

，得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，由此能证明ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

解答： （1）解：∵f（x）=xlnx+1，
∴定义域为（0，+∞），且f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈[e^-2，e^-1]时，f'（x）＜0，当x∈[e^-1，e²]时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈[e^-2，e^-1]为为减函数，在x∈[e^-1，e²]上为增函数，…（3分）
∴f（x）_min=f（e^-1）=1-e^-1，…（4分）
f(x)max=max{f(e-2)，f(e2)}=f(e2)=1+2e2．…（5分）
（2）解：当x∈（1，+∞）时，y=f（x）的图象恒在直线y=kx的上方，
等价于x∈（1，+∞）时，不等式xlnx+1＞kx恒成立，
即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，
令g（x）=lnx+

1

x

，x∈（1，+∞），则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上递增，∴x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=1，
∴满足条件的实数k的取值范围是（-∞，1]．
（3）证明：由（2）知当x∈（1，+∞）时，
xlnx+1＞x?lnx＞1-

1

x

，…（11分）
令x=

n+1

n

，则ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

，
化简得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，…（13分）
∴ln2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，
∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））+…+（ln2-ln1）+ln1
=

1

n+1

+

1

n

+…+

1

2

，
即ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）

点评：本题考查函数的最大值和最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．